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Calcular limite trigonométrico?


lim cotg 2x * cotg (?/2 - x)
x?0

A resposta é 1/2, mas estou tendo muita dificuldade para digerir isso =D Estou começando a estudar limites agora, então, por favor, sejam o mais claros possíveis... desde já agradeço
y = cotg 2x * cotg (?/2 - x)
y = cotg 2x * tg x

correto? e

y = tg x / tg 2x

estudei a variação dessa função:

f(x) = tg x / tg 2x

pelo computador e descobri que

lim tg x / tg 2x = 1/2
x?0
Cheguei em uma coisa aqui:

y = tg x / tg 2x = (1 - tg² x) / 2

correto?

lim (1 - tg² x) / 2 = 1/2
x?0

está correta minha resolução? existe outra maneira de resolver?
Maria Descartes... veja:

cotg x = cos x / sen x
tg x = sen x / cos x

o interessante é que, ao inverter cotg você inverteu o resultado final:

1/2 -> 2

Obrigado pela resposta =D
  • 15 Fevereiro 2009

Melhor resposta - Escolhida pelo autor da pergunta

lim cotg 2x * cotg (?/2 - x) =
x?0

lim (cos 2x/sen 2x) * cos(?/2 - x)/sen(?/2 - x)
x?0

lim (cos 2x/sen 2x) * sen x/cos x =
x?0

Como cos 0 = 1, teremos

lim sen x/sen 2x =
x?0

Multiplicando numerador e denominador por 2x/2x, teremos

lim ( 2x sen x)/(2x sen 2x) =
x?0

E como lim senx/x = 1 com x?0, teremos

lim (2x)/(2 sen 2x) =
x?0

lim 1/[(2 sen 2x)/2x] =
x?0

O mesmo vale pra lim sen2x/2x = 1 com x?0

lim 1/2 = 1/2
x?0
  • resposta em: 15 Fevereiro 2009

  • aprovada em: 18 Fevereiro 2009

Outras Respostas (2)

  • lim cotg 2x * cotg (?/2 - x) =
    x?0

    lim (cos 2x/sen 2x) * cos(?/2 - x)/sen(?/2 - x)
    x?0

    lim (cos 2x/sen 2x) * sen x/cos x =
    x?0

    Como cos 0 = 1, teremos

    lim sen x/sen 2x =
    x?0

    Multiplicando numerador e denominador por 2x/2x, teremos

    lim ( 2x sen x)/(2x sen 2x) =
    x?0

    E como lim senx/x = 1 com x?0, teremos

    lim (2x)/(2 sen 2x) =
    x?0

    lim 1/[(2 sen 2x)/2x] =
    x?0

    O mesmo vale pra lim sen2x/2x = 1 com x?0

    lim 1/2 = 1/2
    x?0
    • 15 Fevereiro 2009
  • Veja:
    lim(x?0)cotg 2x * cotg (?/2 - x)=
    lim(x?0)cos2x/sen2x *cos(?/2 - x)/sen(?/2 - x)

    sen(?/2 - x)=sen(?/2)cosx-senxcos(?/2)
    sen(?/2 - x)=1.cosx-senx.0
    sen(?/2 - x)=cosx

    cos(?/2 - x)=cos(?/2)cos(x)+senxsen(?/2)
    cos(?/2 - x)=0.cos(x)+senx.1
    cos(?/2 - x)=senx

    cos(?/2 - x)/sen(?/2 - x)=
    senx/cosx=
    tgx

    sen2x=2senxcosx

    lim(x?0)cos2x/sen2x *cos(?/2 - x)/sen(?/2 - x)=
    lim(x?0)cos2x /2senxcosx *senx/cosx=
    lim(x?0)cos2x/2cos²x=
    lim(x?0)cos2.0/2cos²0=
    lim(x?0)cos0/2.1²=
    1/2.1=
    1/2
    Já editei.
    Não sei como troquei cotangente por tangente.
    Mas, acredito que deu para você entender.
    • 15 Fevereiro 2009